Gradivo: Pisni izpit, januar 2011 [02]
Vsebina gradiva
1. naloga
Poiˇsˇcite lokalne ekstreme funkcije
f
(
x
) =
x
2
∫
0
(
e
t
2
−
e
4
)
dt
!
Reˇsitev:
f
′
(
x
) =
(
e
x
4
−
e
4
)
2
x
= 0
x
1
= 0
, x
2
=
√
2
, x
3
=
−
√
2
f
′′
(
x
) =
e
x
4
8
x
4
+
(
e
x
4
−
e
4
)
2
f
′′
(0) = (1
−
e
4
)2
<
0
−→
x
1
= 0 je max
f
′′
(
√
2) = 32
e
4
>
0
−→
x
2
=
√
2 je min
f
′′
(
−
√
2) = 32
e
4
>
0
−→
x
3
=
−
√
2 je min
2. naloga
Izraˇcunajte trojni integral
∫∫
V
∫
1
z
dxdydz
in je integracijsko obmoˇcje doloˇceno z neenaˇcbama
x
2
+
y
2
+
z
2
<
2
z , z >
1 !
Reˇsitev:
Integral izraˇcunamo v sferiˇcnih koordinatah. Najprej zapiˇsemo mejni
ploskvi v sferiˇcnih koordinatah in poiˇsˇcemo njuno preseˇciˇsˇce.
Reˇsitev sistema
ρ
sin
θ
= 1
, ρ
= 2 sin
θ
je
ρ
=
√
2
, θ
=
π
4
I
=
2
π
∫
0
dφ
π/
2
∫
π/
4
dθ
2 sin
θ
∫
1
/
sin
θ
ρ
2
cos
θ
ρ
sin
θ
dρ
=
2
π
π/
2
∫
π/
4
cos
θ
sin
θ
dθ
2 sin
θ
∫
1
/
sin
θ
ρ dρ
=
2
π
π/
2
∫
π/
4
cos
θ
sin
θ
dθ
ρ
2
2
2 sin
θ
1
/
sin
θ
=
π
π/
2
∫
π/
4
cos
θ
(
4 sin
θ
−
1
sin
3
θ
)
dθ
=
π
(
4
sin
2
θ
2
+
1
2 sin
2
θ
)
π/
2
π/
4
=
π
(2 +
1
2
−
1
−
1) =
π
2
3. naloga
Kos ˇzice leˇzi v ravnini (
x,y
) na hiperboli
x
2
−
y
2
= 1 med toˇckama
A
(1
,
0) in
B
(
√
2
,
1) . Masa
ˇzice na dolˇzinsko enoto je enaka
1
d
, kjer je
d
oddaljenost toˇcke od izhodiˇsˇca. Kolikˇsna je masa ˇzice ?
Reˇsitev:
Parametriˇcna enaˇcba hiperbole:
x
=
t, y
=
√
t
2
−
1
,
̇
x
= 1
,
̇
y
=
t
√
t
2
−
1
m
=
∫
C
ds
√
x
2
+
y
2
=
√
2
∫
1
√
1 +
t
2
t
2
−
1
√
t
2
+
t
2
−
1
dt
=
√
2
∫
1
dt
√
t
2
−
1
= log(
t
+
√
t
2
−
1)
√
2
1
=
log(
√
2 + 1)
4. naloga
Naj bo
z
=
x
+
iy
in
u
=
x
3
−
3
xy
n
. Doloˇcite konstanto
n
in funkcijo
v
(
x,y
) , tako da bo
funkcija
u
+
iv
analitiˇcna !
Reˇsitev:
Da je funkcija
u
realni del analitiˇcne funkcije, je potreben pogoj, da je harmoniˇcna:
4
u
=
u
xx
+
u
yy
= 6
x
−
3
xn
(
n
−
1)
y
n
−
2
= 0
−→
n
= 2
u
x
=
v
y
−→
v
=
∫
u
x
dy
=
∫
(3
x
2
−
3
y
2
)
dy
= 3
x
2
y
−
y
3
+
C
(
x
)
u
y
=
−
v
x
−→ −
6
xy
=
−
(6
xy
+
C
′
(
x
))
−→
C
(
x
) =
C
v
(
x,y
) =
3
x
2
y
−
y
3
+
C
Sorodne vsebine
| Pisni izpit, januar 2011 [02] | ||
| Swift, Jonathan: Guliverjeva potovanja | ||
| Lastnosti polimernih materialov | ||
Statistika prenosov
Dnevna porazdelitev
Vrsta prenosa
Izpostavljene vsebine
Čas je za oddajo prošnje za bivanje v študentskih domovih