1. Domov
  2. Zbirka gradiv
  3. Univerza v Ljubljani
  4. Fakulteta za elektrotehniko
  5. Elektrotehnika (uni)
  6. Matematika 1
  7. Določeni integral [05] - uporaba

Gradivo: Določeni integral [05] - uporaba

  • Na voljo od: 21.12.2018
  • Število ogledov: 482
  • Število prenosov: 398
Prenesi gradivo
  • 0

Vsebina gradiva

od 17
Uporaba doloˇcenega integrala
Matematika 1
Gregor Dolinar
Fakulteta za elektrotehniko
Univerza v Ljubljani
9. januar 2014
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
◮
Ploˇsˇcina izseka do krivulje v polarni obliki
Naj bo
r
=
r
(
φ
) sklenjena krivulja, podana v polarni obliki za
φ
∈
[
α, β
].
0.2
0.4
0.6
0.2
0.4
0.6
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
Zanima nas ploˇsˇcina obmoˇcja, omejenega s krivuljo
r
=
r
(
φ
) in
poltrakoma
φ
=
α
ter
φ
=
β
.
Kot od kota
α
do kota
β
razdelimo na
n
manjˇsih kotov od
φ
k
−
1
do
φ
k
, pri ˇcemer je
φ
0
=
α
in
φ
n
=
β
.
ˇ
Ce so koti
φ
k
−
φ
k
−
1
dovolj majhni, potem je
r
(
φ
k
−
1
)
.
=
r
(
φ
k
) in
ploˇsˇcina izseka do krivulje
r
=
r
(
φ
) je pribliˇzno enaka ploˇsˇcini
kroˇznega izseka s polmerom
r
(
φ
k
) in kotom
φ
k
−
φ
k
−
1
, torej
1
2
(
r
(
φ
k
))
2
(
φ
k
−
φ
k
−
1
)
.
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
Definiramo integralsko vsoto
n
∑
k
=1
1
2
(
r
(
φ
k
))
2
(
φ
k
−
φ
k
−
1
)
in pogledamo, koliko je limita integralskih vsot, ko gre
n
→∞
in
φ
k
−
φ
k
−
1
→
0 za vsak
k
.
ˇ
Ce limita obstaja, potem je ploˇsˇcina enaka
S
=
1
2
∫
β
α
(
r
(
φ
))
2
d
φ.
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
Primer
Izraˇcunajmo ploˇsˇcino obmoˇcja, omejenega s krivuljo
r
(
φ
) = sin(2
φ
).
-
0.5
0.5
-
0.5
0.5
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
Opomba
Ker je
x
=
r
cos
φ
in
y
=
r
sin
φ
, je
dx
=
dr
cos
φ
−
r
sin
φ
d
φ
in
dy
=
dr
sin
φ
+
r
cos
φ
d
φ
.
Izraˇcunamo
xdy
−
ydx
in dobimo, da je
1
2
(
xdy
−
ydx
) =
1
2
r
2
d
φ.
Izraz
1
2
(
xdy
−
ydx
) imenujemo diferencial ploˇsˇcine in je enak
ploˇsˇcini krivoˇcrtnega trikotnika s koordinatami (0
,
0), (
x
,
y
) in
(
x
+
dx
,
y
+
dy
).
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
◮
Loˇcna dolˇzina krivulje
Naj bo krivulja podana z zvezno odvedljivo funkcijo
f
: [
a
,
b
]
→
R
.
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
2
4
6
8
10
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
Zanima nas dolˇzina krivulje od toˇcke (
a
,
f
(
a
)) do toˇcke (
b
,
f
(
b
)).
Na krivulji si izberemo toˇcke
T
k
(
x
k
,
f
(
x
k
)),
k
= 0
, . . . ,
n
, pri ˇcemer
je
x
0
=
a
in
x
n
=
b
.
a
=
x
0
b
=
x
n
x
y
x
k
−
1
x
k
f
(
x
k
)
f
(
x
k
−
1
)
T
k
−
1
T
k
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
Toˇcke poveˇzemo z daljicami in dobimo poligonsko ˇcrto, kat
ere
dolˇzina je po Pitagorovem izreku enaka
n
∑
k
=1
√
(
x
k
−
x
k
−
1
)
2
+ (
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
))
2
.
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
Dolˇzina
n
∑
k
=1
√
(
x
k
−
x
k
−
1
)
2
+ (
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
))
2
je tem boljˇsi pribliˇzek dolˇzine krivulje, ˇcim krajˇse so raz
dalje med
toˇckami
T
k
−
1
in
T
k
.
Razliko
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
) s pomoˇcjo Lagrangeovega izreka zapiˇsemo
na naslednji naˇcin
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
) =
f
′
(
ξ
k
)(
x
k
−
x
k
−
1
)
,
kjer je
ξ
k
∈
(
x
k
−
1
,
x
k
).
Gregor Dolinar
Matematika 1
Uporaba doloˇcenega integrala
Sledi, da je
n
∑
k
=1
√
(
x
k
−
x
k
−
1
)
2
+ (
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
))
2
=
n
∑
k
=1
√
(
x
k
−
x
k
−
1
)
2
+ (
f
′
(
ξ
k
)(
x
k
−
x
k
−
1
))
2
=
n
∑
k
=1
√
1 + (
f
′
(
ξ
k
))
2
(
x
k
−
x
k
−
1
)
Gregor Dolinar
Matematika 1

Sorodne vsebine

Swift, Jonathan: Guliverjeva potovanja
Lastnosti polimernih materialov
Zapiski [01]

Statistika prenosov

Dnevna porazdelitev
Vrsta prenosa
Izpostavljene vsebine
Organizator socialne mreže – višješolski strokovni program z jasnim poklicnim ciljem
Vpis v višje strokovno izobraževanje 2025/2026
Čas je za oddajo prošnje za bivanje v študentskih domovih
Najnovejša gradiva
  • © Študentski.net 2000-2025
  • Vse pravice pridržane